D Einfache Zinsrechnung

Für die einfache Verzinsung eines Betrags \(X_t\) zum Zinssatz \(r\) gilt:

\[X_{t+1} = X_{t}(1+r)\]

Wenn wir z.B. 100€ mit einem Jahreszins von 10% verzinsen erhalten wir:

\[100 € + 0,10 \cdot 100 € = 100 € \cdot(1 +0,10) = 110 €\]

Wenn wir den neuen Wert \(X_{t+1}\) erneut verzinsen (Zinseszins), erhalten wir:

\[X_{t+2} = X_{t+1}(1+r)\] Durch einsetzen der ersten Gleichung erhalten wir:

\[X_{t+2} = X_{t}(1+r)(1+r) = X_{t}(1+r)^2\]

für \(T\) Zinsperioden erhalten wir:

\[X_{t+T} = X_{t}(1+r)^T\]

Diese Gleichung können wir einfach nach \(X_t\) umstellen, um zu ermitteln, welcher Anfangsbetrag \(X_t\) zum Zins \(r\) angelegt werden müsste, um zum Zeitpunkt \(t+T\) einen Betrag \(X_{t+T}\) zu erhalten:

\[X_{t} = \frac{X_{t+T}}{(1+r)^T}\]

In dieser Form wird \(X_t\) manchmal als Barwert (gegenwärtiger Wert) des zukünftigen Wertes \(X_{t+T}\) bezeichnet.