F Vereinfachte Darstellung einer geometrischen Reihe

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Zunächst schreiben wir die geometrische Reihe \(y\) als:

\[\begin{equation} y = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots = 1 + \sum_{n = 1}^\infty x^n \tag{F.1} \end{equation}\]

Dazu können wir alle Seiten von Gleichung (F.1) mit \(x\) multiplizieren:

\[\begin{equation} y x = x + x^2 + x^3 + x^4 + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} x^n \tag{F.2} \end{equation}\]

Um dann die untere Gleichung (F.2) von der oberen Gleichung (F.1) zu subtrahieren:

\[y - yx = 1\]

Jetzt können wir \(y\) ausklammern:

\[\Leftrightarrow y (1 - x) = 1\] Und schließlich nach \(y\) umstellen:

\[\Leftrightarrow y = \frac{1}{1 - x}\]

Wir sehen also dass:

\[ 1 + \sum_{n = 1}^\infty x^n = \frac{1}{1 - x}\]

Dabei haben wir angenommen, dass der Absolutwert von \(x\) kleiner als eins \(|x| < 1\) ist. Diese Annahme ist notwendig, damit der Wert der geometrischen Reihe „konvergiert“.